Question

13．以$A（-\sqrt{3}，0）$为圆心，4为半径作圆，$B（\sqrt{3}，0）$，C为圆上任意一点，分别连接AC，BC，过BC的中点N作BC的垂线，交AC于点M，当点C在圆上运动时，
（1）求M点的轨迹方程，并说明它是何种曲线；
（2）求直线y=kx+1截（1）所得曲线弦长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义求M点的轨迹方程，并说明它是何种曲线；
（2）直线y=kx+1代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²+8kx=0，表示出弦长，即可求直线y=kx+1截（1）所得曲线弦长的最大值．

解答 解：（1）由题意，|MA|+|MB|=|AC|=4＞2$\sqrt{3}$，
∴M点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴b=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）直线y=kx+1代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x=0或x=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，
∴弦长L=$\sqrt{1+{k}^{2}}•|\frac{8k}{1+4{k}^{2}}|$，
设t=1+4k²（t≥1），则L²=-12（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
∴t=3时，L的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．