Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，点P（

5

5

a，

2

2

a）在椭圆上，
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上，且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点P（

5

5

a，

2

2

a）在椭圆上，代入椭圆方程，可得

b2

a2

=

5

8

，利用e²=1-

b2

a2

，即可求椭圆的离心率；
（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x₀，y₀），由条件得x02=

a2b2

k2a2+b2

，利用|AQ|=|AO|，求出x₀=

-2a

1+k2

，代入（1+k²）x₀²=-2ax₀，即可求直线OQ的斜率的值．

解答： 解：（1）∵点P（

5

5

a，

2

2

a）在椭圆上，
∴

a2

5a2

+

a2

2b2

=1，
∴

b2

a2

=

5

8

，
∴e²=1-

b2

a2

=1-

5

8

=

3

8

，
∴e=

6

4

；
（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx
设点Q的坐标为（x₀，y₀），由条件得x02=

a2b2

k2a2+b2

∵|AQ|=|AO|，A（-a，0），y₀=kx₀，
∴（x₀+a）²+k²x₀²=a²
∴（1+k²）x₀²=-2ax₀①，
∵x₀≠0，∴x₀=

-2a

1+k2

代入①，整理得（1+k²）²=4k²×

a2

b2

+4
∴5k⁴-22k²-15=0
∴k²=5
∴k=±

5

．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．