Question

已知定义在R上的奇函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）且x=1时，f（x）取得极小值-．
（I ）求f（x）的解析式；
（II）求f（x）的单调区间；
（III）当，x∈[-1，1]时，函数图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

Answer 1

解：（I ）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∴d=0．又 f（1）=-f（-1），
∴b=0，∴f（x）=ax³ +cx，f′（x）=3ax²+c．
由f′（1）=0 及 f（1）=- 得 3a+c=0，a+c=-，a=，c=-．
∴f（x）=x³-=0．
（II）令 f′（x）=0，解得 x=1，或 x=-1．∵f′（x）在-1的左侧大于0，右侧小于0，
f′（x）在1的左侧小于0，右侧大于0，故f（x）的增区间为（-∞，-1），（1，+∞），减区间为（-1，1）．
（III）当x∈[-1，1]时，函数图象上不存在两点使结论成立．假设图象上存在两点A、B，时的过此两点的
切线互相垂直，则由f′（x）= 可知，k₁=，k₂=，
且 =-1．∵x∈[-1，1]，∴（x₁²-1）•（x₂²-1）≥0，与上式相矛盾，
故假设不成立．
分析：（I ）利用 f（0）=0 求出 d 值，由f（1）=-f（-1）求得b 值，利用f′（1）=0 及 f（1）=-，求得a 和c 的值，从而求得f（x）的解析式．
（II）利用导数的符号求出函数的单调区间，使导数大于0的区间即为函数的增区间，使导数小于0的区间即为函数的减区间．
（III） 假设图象上存在两点A、B，时的过此两点的切线互相垂直，则 k₁=，k₂=，且k₁•k₂=-1．这与x∈[-1，1]，k₁•k₂=（x₁²-1）•（x₂²-1）≥0矛盾，故假设不对．
点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，用反证法证明（III）当x∈[-1，1]时，函数图象上不存在两点使结论成立，是解题的难点．