Question

【题目】如图，点F是抛物线τ：x2=2py （p＞0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且 =（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1 ， k2 ．

（I）求抛物线τ的方程；
（Ⅱ）若k1﹣k2=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设A（x0，y0），可知F（0， ），故 ．

∴ ，代入x2=2py，得p=2．

∴抛物线τ的方程为x2=4y．

（Ⅱ）过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B（ ），C（ ），

由（Ⅰ）得A（﹣2，1）．

=2，

∴x2﹣x1=8．

直线DBy= ，直线CDy= ，解得 ．

∴直线BC的方程为y﹣ = ，将xD代入得 ．

∴△BCD的面积为S= ×ED×（x2﹣x1）= = （定值）

【解析】（1）设A（x0，y0），由抛物线方程可得焦点坐标F（0， ），根据 =（2，0）即抛物线方程列出方程组，解出p，得到方程；（2）过D作y轴的平行线交BC于点E，设出B，C坐标，根据斜率之差为2，得出x2﹣x1=8，直线方程联立抛物线方程，得出xD，yD ， y E，再算出△BCD的面积.