Question

（2007•天津一模）已知△OFQ的面积为2

6

，且

OF

•

FQ

=m．
（1）设4

2

＜m＜4

6

，求向量

OF

•

FQ

夹角θ的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），若|

OF

|=c，m=(

6

4

-1)c2，当|

OQ

|取最小值时，求此双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积计算公式和数量积运算即可得出；
（2）利用三角形的面积计算公式和数量积运算可得点Q的坐标用c表示，再利用基本不等式的性质即可得出|

OQ

|取得最小值时的c的值即可．

解答：解：（1）由已知，得

1 2 | OF |•| FQ |sin(π-θ)=2 6 | OF |•| FQ |•cosθ=m

∴tanθ=

4 6

m

，
∵4

2

＜m＜4

6

，
∴1＜tanθ＜

3

得

π

4

＜θ＜

π

3

．
（2）设所求的双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，点Q(x1，y1)，则

FQ

=(x1-c，y1)．
∵△OFQ的面积

1

2

|

OF

||y1|=2

6

，
∴y1=±

4 6

c

．
又由

OF

•

FQ

=(c，0)(x1-c，y1)=(x1-c)c=(

6

4

-1)c2，
∴x1=

6

4

c．
|

OQ

|=

x 2 1 + y 2 1

=

3c2 8 + 96 c2

≥

12

，当且仅当c=4时|

OQ

|最小
此时Q的坐标为(

6

•

6

)或(

6

，-

6

)．
由此可得

6 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=16

解得

a2=4 b2=12

故所求的方程为

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式和数量积运算、基本不等式的性质等是解题的关键．