Question

（2009•闵行区二模）（文）斜率为1的直线过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线交于两点A、B．
（1）求|AB|的值；
（2）将直线AB按向量

a

=(-2，0)平移得直线m，N是m上的动点，求

NA

•

NB

的最小值．
（3）设C（2，0），D为抛物线y²=4x上一动点，证明：存在一条定直线l：x=a，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长为定值，并求出直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用直线方程的点斜式写出直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，再代入弦长公式，就可求出|AB|的值．
（2）利用向量平移公式求出直线AB平移后的方程，设出动点N的坐标，代入

NA

•

NB

，利用（1）中所求x₁+x₂，x₁x₂，化简，再用二次函数求最值的方法求出最小值．
（3）先假设存在一条定直线l：x=a，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长为定值，设出直线l与以CD为直径的圆的交点为P，Q，则动圆圆心到P，Q的距离都等于CD距离的一半，再求出动圆圆心到直线l的距离，利用圆中半径，弦心距，半弦满足勾股定理，计算出半弦，看是否为常数，若是，则假设正确，若不是，则假设不正确．再根据求出的a值，写出直线l的方程即可．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0
则x₁+x₂=6，由定义可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．
（2）由（1）可设N（x₀，x₀+1），
则

NA

=(x1-x0，y1-x0-1)，

NB

=(x2-x0，y2-x0-1)
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

2 0

+y1y2-(x0+1)(y1+y2)+(x0+1)2
由x₁+x₂=6，x₁x₂=1，y₁y₂=-4，y₁+y₂=4
则

NA

•

NB

=2

x

2 0

-8x0-6=2(x0-2)2-14
当x₀=2时，

NA

•

NB

的最小值为-14．                              
（3）设CD的中点为O'，l与以CD为直径的圆相交于点P、Q，
设PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，O'点的坐标为(

x1+2

2

，

y1

2

)．
∵|O′P|=

1

2

|CD|=

1

2

(x1-2)2+y12

=

1

2

x 2 1 +4

，
|O′H|=|a-

x1+2

2

|=

1

2

|2a-x1-2|，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

(

x

2 1

+4)-

1

4

(2a-x1-2)2
=（a-1）x₁-a²+2a，∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[（a-1）x₁-a²+2a]．                         
令a-1=0，得a=1，此时|PQ|=2为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为x=1，即抛物线的通径所在的直线．

点评：本题主要考查了直线与抛物线相交时弦长的求法，直线与圆相交时弦长的求法，其中注意韦达定理的应用．