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已知焦点在x轴上,中心在坐标原点的椭圆C的离心率为,且过点(,1).
(I)求椭圆C的方程;
(II)直线l分别切椭圆C与圆M:x2+y2=R2(其中3<R<5)于A、B两点,求|AB|的最大值.
【答案】分析:(I)设出椭圆的方程,根据离心率及椭圆过点(,1)求出待定系数,即得椭圆的方程.
(II)用斜截式设出直线的方程,代入椭圆的方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,化简|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值.
解答:解:(I)设椭圆的方程为,则 a,

∵椭圆过点,∴,解得 a2=25,b2=9,
故椭圆C的方程为 (4分)

(II)设A(x1,y1),B(x2,y2)分别为直线l与椭圆和圆的切点,
直线AB的方程为y=kx+m,因为A既在椭圆上,又在直线AB上,
从而有,消去y得:(25k2+9)x2+50kmx+25(m2-9)=0,
由于直线与椭圆相切,
故△=(50kmx)2-4(25k2+9)x25(m2-9)=0,从而可得:m2=9+25k2,①,x1=,②
.消去y得:(k2+1)x2+2kmx+m2-R2=0,
由于直线与圆相切,得m2=R2(1+k2),③,x2=,④
由②④得:x2-x1=,由①③得:k2=,(9分)
∴|AB|2=(x2-x12+(y2-y12=(1+k2)(x2-x12
==

即|AB|≤2,当且仅当R=时取等号,所以|AB|的最大值为2(12分)
点评:本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程,一元二次方程根与系数的关系,基本不等式的应用.
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3
2
,过点M(-1,0)的直线l与椭圆交于P、Q两点.
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PM
=-
3
5
QM
,求椭圆的标准方程;
(2)若(1)中椭圆的右顶点为A,直线l的倾斜角为α,问α为何值时,
AP
AQ
取得最大值,并求出这个最大值.

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2
2

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6
4
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OP
=t
OE
,求实数t的值.

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3
)
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OA
+
OB
OQ
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精英家教网已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,并且焦距为2,短轴与长轴的比是
3
2

(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆中有如下定理:过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任意一点M(x0,y0)的切线唯一,且方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
,利用此定理求过椭圆的点(1,
3
2
)
的切线的方程;
(3)如图,过椭圆的右准线上一点P,向椭圆引两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:A,F,B三点共线.

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