【题目】已知幂函数y=f(x)经过点(2, ).
(1)试求函数解析式;
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间.
【答案】
(1)解:由题意,得f(2)=2a= <a=﹣3,
故函数解析式为f(x)=x﹣3
(2)解:∵f(x)=x﹣3= ,
∴要使函数有意义,则x≠0,
即定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
∵f(﹣x)=(﹣x)﹣3=﹣x﹣3=﹣f(x),
∴该幂函数为奇函数.
当x>0时,根据幂函数的性质可知f(x)=x﹣3.在(0,+∞)为减函数,
∵函数f(x)是奇函数,
∴在(﹣∞,0)函数也为减函数,
故其单调减区间为(﹣∞,0),(0,+∞)
【解析】(1)利用待定系数法即可求函数解析式;(2)根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)求此函数在R上的解析式;
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t+1)+f(m﹣2t2)<0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》,共有名同学选修,其中男同学名,女同学名.为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采取分层抽样的方法抽取人进行考核.
(1)求抽取的人中男、女同学的人数;
(2)考核前,评估小组打算从选出的中随机选出名同学进行访谈,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
(3)考核分答辩和笔试两项. 位同学的笔试成绩分别为;结合答辩情况,他们的考核成绩分别为.这位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为,试比较和的大小.(只需写出结论)
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【题目】已知函数.
(1)若函数在定义域单调递增,求实数的取值范围;
(2)令, ,讨论函数的单调区间;
(3)如果在(1)的条件下, 在内恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11)。
(1)求a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
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【题目】如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心, |CO| 为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求|MN| .
(2)若|AF|2=|AM|·|AN| ,求圆C的半径.
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【题目】已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a∈R).
(1)若曲线g(x)=f(x)+x上点(1,g(1))处的切线过点(0,2),求函数g(x)的单调减区间;
(2)若函数y=f(x)在区间(0, )内无零点,求实数a的最小值.
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