【题目】已知数列,其前项和为,满足,其中,.
(1)若,求证:数列是等比数列;
(2)若数列是等比数列,求的值;
(3)若,且,求证:数列是等差数列.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据题意得到,即,所以,故数列是等比数列;(2)是等比数列,设其公比为,根据,,,可构造方程进而求得参数值;(3)先求得,由,得,两式相减得:,化简得到,再由迭代的方法得到数列进而证得数列是等差数列.
解析:
(1)证明:若,则当(),
所以,
即,
所以,
又由,,
得,,即,
所以,
故数列是等比数列.
(2)若是等比数列,设其公比为( ),
当时,,即,得
, ①
当时,,即,得
, ②
当时,,即,得
, ③
②①,得 ,
③②,得 ,
解得.
代入①式,得.此时(),
所以,是公比为1的等比数列,
故.
(3)证明:若,由,得,
又,解得.
由,, ,,代入得,
所以,,成等差数列,
由,得,
两式相减得:
即
所以
相减得:
所以
所以
,
因为,所以,
即数列是等差数列.
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【题目】为了检验学习情况,某培训机构于近期举办一场竞赛活动,分别从甲、乙两班各抽取10名学员的成绩进行统计分析,其成绩的茎叶图如图所示(单位:分),假设成绩不低于90分者命名为“优秀学员”.
(1)分别求甲、乙两班学员成绩的平均分(结果保留一位小数);
(2)从甲班4名优秀学员中抽取两人,从乙班2名80分以下的学员中抽取一人,求三人平均分不低于90分的概率.
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【题目】某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,…8,其中为标准,为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品,产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准生产该产品,产品的零售价为元/件,假定甲, 乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示:
5 | 6 | 7 | 8 | |
0.4 | b | 0.1 |
且的数学期望, 求a,b的值;
(Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数的数学期望;
(Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.
注: ①产品的“性价比”=;②“性价比”大的产品更具可购买性.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系下的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线: 与曲线交于点与直线交于点,求线段的长.
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【题目】为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本,其中城镇户籍与农民户籍各50人;男性60人,女性40人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关
C. 倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同
D. 倾向选择生育二的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
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【题目】已知椭圆的右焦点为,原点为,椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴,弦的中点为,过且垂直于线段的直线交直线于点.
(1)证明:三点共线;
(2)求的最大值.
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