Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（-1，0），Q（2，1），直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，可得a（2x+y）+c（y+2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，可得直线l：ax+by+c=0，恒经过定点M（1，-2）．由于PH⊥l，可得点H在以PM为直径的圆上，其圆心C（0，-1）．圆的方程为：x²+（y+1）²=2．则|QC|-r≤|QH|≤|QC|+r．

解答 解：直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，
∴ax+$\frac{a+c}{2}$y+c=0，化为a（2x+y）+c（y+2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=-2．
∴直线l：ax+by+c=0，恒经过定点M（1，-2）．
∵PH⊥l，
∴点H在以PM为直径的圆上，其圆心C（0，-1）．
圆的方程为：x²+（y+1）²=2．
|QC|=2$\sqrt{2}$．
∴|QC|-r≤|QH|≤|QC|+r，
线段QH的取值范围是$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．
故答案为：$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．