Question

【题目】已知f（x）= （m∈R，x＞m）．
（1）若f（x）+m≥0恒成立，求m的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为6，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）+m≥0恒成立，∴ +m≥0，化为：x2+mx+3﹣m2≥0，令g（x）=x2+mx+3﹣m2，（x＞m），g′（x）=2x+m，令g′（x）=2x+m=0，解得x=﹣ ．①m≥0时，m＞﹣ ，则g（x）在（m，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（m）=m2+3＞0，满足条件．②m＜0时，m＜﹣ ，则g（x）在x=﹣ 时取得最小值，∴ = ﹣ +3﹣m2≥0，解得： ≤m＜0．综上可得：m的取值范围是 ．
（2）解：∵f（x）的最小值为6，f（x）= ≥6，对于m∈R，x＞m恒成立，

∴x2﹣6x+9≥6﹣6m，即（x﹣3）2≥6﹣6m，

①m≥1时，6﹣6m≤0，x＞m时，（x﹣3）2≥0，此时恒成立．

②m＜1时，x=3时，6m﹣6≥0，解得m≥1舍去．

综上可得：m≥1．

∴f（x）的最小值为6时，m=1．

【解析】（1）f（x）+m≥0恒成立，可得 +m≥0，化为：x2+mx+3﹣m2≥0，令g（x）=x2+mx+3﹣m2 ， （x＞m），通过对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（2）f（x）的最小值为6，f（x）= ≥6，对于m∈R，x＞m恒成立，可得x2﹣6x+9≥6﹣6m，即（x﹣3）2≥6﹣6m，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．