Question

11．已知cos110°=k，则tan80°=$\frac{1+\sqrt{{1-k}^{2}}}{-k}$．

Answer 1

分析 由题意可得sin20°=-k，cos20°=$\sqrt{{1-k}^{2}}$，化简tan80°为 $\frac{cos10°}{sin10°}$，再利用半角公式求出它的值．

解答 解：∵cos110°=-cos70°=-sin20°=k，则sin20°=-k，∴cos20°=$\sqrt{{1-sin}^{2}20°}$=$\sqrt{{1-k}^{2}}$，
∴tan80°=cot10°=$\frac{cos10°}{sin10°}$=$\frac{\sqrt{\frac{1+cos20°}{2}}}{\sqrt{\frac{1-cos20°}{2}}}$=$\sqrt{\frac{1+cos20°}{1-cos20°}}$=$\frac{\sqrt{{（1+cos20°）}^{2}}}{sin20°}$=$\frac{1+cos20°}{sin20°}$=$\frac{1+\sqrt{{1-k}^{2}}}{-k}$，
故答案为：$\frac{1+\sqrt{{1-k}^{2}}}{-k}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换以及化简求值，属于中档题．