Question

在直角梯形PBCD中A为PD的中点，如下左图。，将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如下右图。
（1）求证：平面ABCD；（2）求二面角E—AC—D的正切值．

Answer 1

解：（1）证明：在图中，由题意可知，
为正方形，所以在图中，，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为，ABBC，
所以BC平面SAB，………………………3分
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，………………………6分
（2）解法一： 在AD上取一点O，使，连接EO。
因为，所以EO//SA…………………………7分
所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，
则AC平面EOH，所以ACEH。
所以为二面角E—AC—D的平面角，………………………9分
在中，…11分
，即二面角E—AC—D的正切值为………12分
解法二：如图，以A为原点建立直角坐标系，
……………7分
易知平面ACD的法向为
设平面EAC的法向量为
……………………9分
由，所以，可取
所以………………………………11分
所以
所以,即二面角E—AC—D的正切值为…………12分

略