Question

14．已知函数f（x）=||2x-3|-3|+m恰有四个互补相等的零点x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁x₂x₃x₄的取值范围是（-$\frac{243}{16}$，0）．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=||2x-3|-3|的图象，可得方程f（x）=-m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，m的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m的范围和二次函数的图象和性质，可得x₁x₂x₃x₄的取值范围．

解答 解：函数f（x）=||2x-3|-3|的图象如下图所示：

由图可知，若f（x）=-m四个互不相等的实数根，则-m∈（0，3）
且x₁，x₂，x₃，x₄分别为：
x₁=$\frac{1}{2}$m，x₂=3-$\frac{1}{2}$m，x₃=$\frac{1}{2}$m+3，x₄=-$\frac{1}{2}$m，
∴x₁x₂x₃x₄=$\frac{1}{16}$（m²-18）²-$\frac{81}{4}$∈（-$\frac{243}{16}$，0）
故答案为：（-$\frac{243}{16}$，0）．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键