Question

若f（x）=（1+2x）^m+（1+3x）ⁿ，（m，n∈N^*）的展开式中含x的系数为13，则x³的系数为

27或80

．

Answer 1

分析：由于f（x）=（1+2x）^m+（1+3x）ⁿ 的展开式中含x的系数为

C

1 m

×2+

C

1 n

×3=13，求得m、n的值，从而求得x³的系数．

解答：解：由于f（x）=（1+2x）^m+（1+3x）ⁿ 的展开式中含x的系数为

C

1 m

×2+

C

1 n

×3=13，
即 2m+3n=13，m，n∈N^*．显然，1≤n≤4．
当n=1时，求得m=5；当n=2时，求得正整数m无解；当n=3时，求得正整数m=2；
当n=4时，求得正整数m无解．
综上可得

m=2 n=3

，或 

m=5 n=1

，故x³的系数为

C

3 3

•3³=27，或者

C

3 5

•2³=80，
故答案为 27或80．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．