Question

（本小题满分14分）
已知函数R, .
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.

Answer 1

(1)解: 函数的定义域为.
∴.
① 当, 即时, 得,则.
∴函数在上单调递增.                ……2分
② 当, 即时, 令 得,
解得.                           
(ⅰ) 若, 则.
∵, ∴,∴函数在上单调递增.… 4分
(ⅱ)若,则时, ;
时, ,
∴函数在区间上单调递减,
在区间上单调递增.…… 6分
综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为;  
当时, 函数的单调递减区间为,
单调递增区间为 …… 8分
(2) 解: 由, 得, 化为.
令, 则.令, 得.
当时, ; 当时, .
∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
∴当时, 函数取得最大值, 其值为.      …… 10分
而函数,
当时, 函数取得最小值, 其值为.     …… 12分
∴ 当, 即时, 方程只有一个根.…… 14分

略