【题目】如图所示,在四边形中:,,,,.点为四边形的外接圆劣弧(不含)上一动点.
(1)证明:;
(2)若,设,,求的最小值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)由余弦定理求得,再根据,求得,最后根据三边长度判断是否满足勾股定理;
(2)设交于,作平行于且交于,则四边形为平行四边形,由平面向量基本定理和正弦定理表示,再根据三角恒等变形求的最小值.
解:(1)在中,由余弦定理知:
所以,又因为,所以
所以分别为方程的两根,
因为,所以
所以,所以
(2)因为,所以是四边形的外接圆的直径,
所以四边形为矩形,连接,
设交于,作平行于且交于,则四边形为平行四边形,
所以,又因为,
由平面向量基本定理知:,所以
在中,因为,,所以
由正弦定理知:,所以
在中,
所以,
所以
因为,所以,所以
所以,当时,取最小值,最小值为.
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【题目】在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道:
摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱.
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?
(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?
(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?
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【题目】已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导函数的图象如图所示,给出关于的下列命题:
①函数在处取得极小值;
②函数在是减函数,在是增函数;
③当时,函数有4个零点;
④如果当时,的最大值是2,那么的最小值为0.
其中所有的正确命题是__________(写出正确命题的序号).
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【题目】甲、乙两台机床同时生产一种零件,在天中,两台机床每天生产的次品数分别为:
甲:;乙:.
(1)分别求两组数据的众数、中位数;
(2)根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能.
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【题目】在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=DC, .
(1)求证:AE∥平面PBC;
(2)求证:AE⊥平面PDC.
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【题目】某大学志愿者协会有名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚,只知道从这名同学中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”的概率为.
性别 专业 | 中文 | 英语 | 数学 | 体育 |
男 | ||||
女 |
现从这名同学中随机抽取名同学参加社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求选出的名同学恰为专业互不相同的男生的概率
(Ⅲ)设为选出的名同学中“女生或数学专业”的学生的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.
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【题目】数列{an}为递增的等差数列,数列{bn}满足bn=anan+1an+2(n∈N*),设Sn为数列{bn}的前n项和,若a2,则当Sn取得最小值时n的值为( )
A.14B.13C.12D.11
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【题目】设椭圆的离心率是,过点的动直线于椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得弦长为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)在上是否存在与点不同的定点,使得直线和的倾斜角互补?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.
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