Question

某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：

血型	A	B	AB	O
人数	20	10	5	15

（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；
（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
（Ⅲ）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A，O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）从50位学生中随机选出2人共有C₅₀²种结果，这2人血型都为A型有C₂₀²种结果，根据古典概型公式得到结果．
（2）从50位学生中随机选出2人共有C₅₀²种结果，2人血型相同包括两人都是A型，两人都是B型，两人都是AB型，两人都是O型，根据上面所列的方法，写出结果．
（3）要从血型为A，O的学生中随机选出2人准备献血，选出A型血的人数为ξ，由题意知，变量取0、1、2，分别做出各变量对应的概率，写出分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A型”为事件A，两个人的血型有C₅₀²种结果，这2人血型都为A型有C₂₀²种结果，由古典概型公式得P(A)=

C 2 20

C 2 50

=

38

245

，即这2人血型都为A型的概率是

38

245

．

（Ⅱ）记“这2人血型相同”为事件B，
2人血型相同包括两人都是A型，
两人都是B型，两人都是AB型，两人都是O型，
∴满足条件的事件数是C₂₀²+C₁₀²+C₅²+C₁₅²，
∴P(B)=

C 2 20 + C 2 10 + C 2 5 + C 2 15

C 2 50

=

350

1225

=

2

7

，
∴这2人血型相同的概率是

2

7

．

（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为0，1，2．
且P(ξ=0)=

C 2 15

C 2 35

=

3

17

，
P(ξ=1)=

C 1 20 C 1 15

C 2 35

=

60

119

，
P(ξ=2)=

C 2 20

C 2 35

=

38

119

．
所以ξ的分布列是

ξ的数学期望为Eξ=0×

3

17

+1×

60

119

+2×

38

119

=

136

119

=

8

7

．

点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的求法，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．这是高考常考的一种题型．