Question

【题目】确定函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.

Answer 1

【答案】定义域：；值域：；单调区间：的递减区间是；递增区间；奇偶性：非奇非偶函数；周期性：周期函数，且最小正周期是

【解析】

化简函数式为，根据对数函数的真数，结合正弦函数的性质，可得定义域；由正弦函数的有界性和对数函数的单调性，可得的值域；利用复合函数单调性增减原则，结合正弦型函数的单调性，即可求出的单调性；先判断定义域是否关于原点对称，否则就是非奇非偶，若对称，再判断与的关系；的周期取决于的周期.

由已知.

（1）欲使有意义，必须，

,

即,

所以的定义域为；

（2），

即，所以的值域为.

（3）考虑到，即.

当，即时，

单调递增，单调递减，

所以的递减区间是.

同理可求，的递增区间.

（4）由于的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数.

（5）由于是周期为的函数，

所以是周期函数，且最小正周期是.