Question

如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=

3

．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设M为棱SA中点，求异面直线DM与SB所成角的大小
（3）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC．由SD⊥底面ABCD，知SD⊥BC，由此能够证明BC⊥SC．
（2）取AB中点P，连接MP，DP．在△ABS中，由中位线定理得MP∥SB，知∠DMP或其补角为所求，由此能求出异面直线DM与SB所成的角．
（3）由SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，可把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，由此能求出面ASD与面BSC所成的二面角．

解答：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，
∴BC⊥平面SDC，
∴BC⊥SC．…（4分）
（2）解：取AB中点P，连接MP，DP．
在△ABS中，由中位线定理得MP∥SB，
∴∠DMP或其补角为所求．
∵MP=

1

2

SB=

3

2

，又DM=

2

2

，DP=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²，∴∠DMP=90°，
即异面直线DM与SB所成的角为90°．…（8分）
（3）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，
如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A₁S，∴SC⊥A₁S，
又SD⊥A₁S，∴∠CSD为所求二面角的平面角．
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=

2

，
在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1．
∴∠CSD=45°．即面ASD与面BSC所成的二面角为45°．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．