Question

1．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=-1时，证明：在（1，+∞）上，f（x）+2＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，然后求导数，利用导数的符号得到原函数的单调区间，注意对字母a的符号的讨论；
（2）先对函数f（x）+2求导，判断该函数的单调性，然后求出该函数在区间（1，+∞）上的最小值，只要最小值大于零即可．

解答 解：（1）易知，函数的定义域为（0，+∞），
因为$f′（x）=\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$．
若a=0，则f′（x）=0，此时原函数不具有单调性；
若a＞0，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数，当x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
若a＜0，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
（2）当a=-1时，令g（x）=f（x）+2=-lnx+x-1，
g′（x）=$\frac{x-1}{x}$，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在（1，+∞）递增，
所以当x∈（1，+∞），g（x）＞g（1）=0恒成立．
故在（1，+∞）上，f（x）+2＞0．

点评 研究函数的性质一定遵循定义域优先的原则，导数是研究函数的单调区间基本途径；对于不等式恒成立问题转化为函数的最值问题求解，最后还是先利用导数研究单调性，求最值使问题获得解答．