Question

8．已知数列{a_n}中，a_n≠0，a₁=1．且a_n•a_n+1=2（a_n-a_n+1）
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）证明：对一切正整数n，有a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$…+$\frac{{a}_{n}}{n}$＜2成立．

Answer 1

分析 （1）由条件可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，再由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）由a_n•a_n+1=2（a_n-a_n+1），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
即有$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
即有a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（2）证明：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，属于中档题．