【题目】已知椭圆的两个焦点是, ,且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过椭圆的左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点,求线段的长.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)椭圆的两个焦点是, ,可得 ,椭圆经过点可得 ,从而可得椭圆的标准方程;(2)直线的方程为,
代入方程并整理,得,利用韦达定理和弦长公式计算弦长.
试题解析:(1)由已知得,椭圆的焦点在轴上.
可设椭圆的方程为,
点是椭圆短轴的一个顶点,可得,
由题意可知,则有,
故椭圆的标准方程为.
(2)由已知得,直线的方程为,
代入方程并整理,得.
设,则,
则
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以、韦达定理及弦长公式,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程或 ;③找关系:根据已知条件,建立关于、、的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的倾斜角;
(2)设点, 和交于两点,求.
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【题目】过椭圆: 上一点向轴作垂线,垂足为右焦点, 、分别为椭圆的左顶点和上顶点,且, .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动直线与椭圆交于、两点,且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点,点是直线上的动点,过作直线, ,线段的垂直平分线与交于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若点是直线上两个不同的点,且的内切圆方程为,直线的斜率为,求的取值范围.
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【题目】海州市六一儿童节期间在妇女儿童活动中心举行小学生“海州杯”围棋比赛,规则如下:甲、乙两名选手比赛时,每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或赛满6局时比赛结束.设某校选手甲与另一选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为,且各局比赛胜负互不影响,已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
(1)求的值;
(2)设表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数,设为曲线在点处的切线,其中.
(Ⅰ)求直线的方程(用表示);
(Ⅱ)求直线在轴上的截距的取值范围;
(Ⅲ)设直线分别与曲线和射线()交于, 两点,求的最小值及此时的值.
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【题目】在刚刚结束的五市联考中,某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀,成绩统计后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.
班级 | 优秀 | 非优秀 | 合计 |
甲班 | 18 | ||
乙班 | 43 | ||
合计 | 110 |
(1)请完成上面的列联表;
(2)请问:是否有的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”?
(3)用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研,然后再从这5名学生中随机抽取2名学生进行谈话,求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率.
参考公式: (其中)
参考数据:
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