Question

在曲线y=1-x²（x≥0，y≥0）上找一点（x₀，y₀），过此点作一切线与x轴、y轴围成一个三角形．
（1）求三角形面积S的最小值及相应的x₀；
（2）当三角形面积达到最小值时，求此三角形的外接圆方程．

Answer 1

分析：（1）求出函数y=1-x²在（x₀，y₀）处的导数值，即切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，对于直线的方程分别令y=0，x=0得到直线与坐标轴的交点坐标，利用两点距离公式求出三角形的两条直角边，利用三角形的面积表示出面积，对面积函数求导数，令导数等于0，判断出根左右两边的导函数符号，求出最大值．
（2）当三角形面积最小时，求出此时的切线方程及切线与x、y轴的交点坐标，从而得出此三角形的外接圆圆心，半径，从而写出外接圆方程即可．

解答：解：（1）y'=-2x，则过点（x₀，y₀）的切线方程为y-（1-x₀²）=-2x₀（x-x₀），
与x、y轴围成的三角形面积为S=f(x0)=

1

4

(

x

3 0

+2x0+

1

x0

)，
则S′=

1

4

(3

x

2 0

+2-

1

x 2 0

)，令S'=0得x0=

3

3

当x∈(0，

3

3

)时，S'＜0，f（x₀）单调递减；  当x∈(

3

3

，1)时，S'＞0，f（x₀）单调递增．
∴S的最小值为

4 3

9

，此时x0=

3

3

（7分）
（2）当三角形面积最小时，切线方程为y=-

2 3

3

x+

4

3

，切线与x、y轴的交点分别为A(

2 3

3

，0)、B(0，

4

3

)，
∴此三角形的外接圆圆心为(

3

3

，

2

3

)，半径为

7

3

，
∴所求外接圆方程(x-

3

3

)2+(y-

2

3

)2=

7

9

（12分）

点评：解决曲线的切线斜率问题，一般利用函数在切点处的导数值为切线的斜率；解决实际问题中的函数的最值问题，一般利用导数求出函数的极值即函数的最值．