Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，，.

（1）证明：平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角为，若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）易得，同时由直三棱柱的性质可得平面平面，又，所以平面，得，故可得平面；

（2）分别以，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，

设，则，，由空间向量法可得的值.

（1）由已知可得四边形为正方形，所以，

因为几何体是直三棱柱，

所以平面平面，

又，所以平面，得，

因为，所以平面，

（2）如图，

由已知，，两两垂直，分别以，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，设，则，所以，，

设平面的一个法向量为，

则，

，

取，得，

平面的一个法向量为.

所以

解得，因为，所以，

所以线段上存在点，且，使得平面与平面所成的锐二面角为.