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己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,当n≥2时,Sn-1+1,an,Sn+1成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3
an+1
2
,Tn是数列{
1
bnbn+1
}
的前n项和,求使得Tn
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
分析:(1)利用an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
及2an=Sn-1+1+Sn+1化简可得an+1=3an,n≥2,此数列数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列.利用等比数列的通项公式就看得出.
(2)利用(1)可得bn=n,可得
1
bnbn+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,利用“裂项求和”可得Tn,即可得出.
解答:解.(1)当n≥2时,由题意可得2an=Sn-1+1+Sn+1…①
2an+1=Sn+1+Sn+1+1…②
②-①化简得an+1=3an,n≥2,又a1=2,
∴数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,
an=2×3n-1
(2)∵bn=log3
an+1
2
=lo
g
3n
2
3
=n.
1
bnbn+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

Tn=1-
1
n+1
<1
m
20
≥1
恒成立,
∴最小正整数m的值为20.
点评:本题考查了an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
及等比数列的通项公式、“裂项求和”及其不等式等基础知识与基本方法,属于难题.
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