Question

设抛物线C：y=x²-2m²x-（2m²+1）（m∈R），
（1）求证：抛物线C恒过x轴上一定点M；
（2）若抛物线与x轴的正半轴交于点N，与y轴交于点P，求证：PN的斜率为定值；
（3）当m为何值时，△PMN的面积最小？并求此最小值．

Answer 1

分析：（1）整理抛物线方程后x-1=0，即x=1时，求得y=0，进而可推断抛物线恒过（1，0）．
（2）令y=0得到关于x的一元二次方程，求得方程的根，进而确定n点坐标，令x=0，则可求得y，进而可得P点坐标．
（3）依题得mn为三角形PMN的底，P点纵坐标的长度为三角形PMN的高．根据点P的坐标求得三角形的高，最后根据三角形面积公式得到三角形面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形面积的最小值．

解答：解：（1）由y=x²-2m²x-（2m²+1）得
y=x²-2m²（x-1）-1
令x-1=0，即x=1，则无论m为何值，总有y=1²-0-1=0．即抛物线恒过（1，0）．
（2）令y=0，有[x-（2m²+1）]（x+1）=0，解得x=2m²+1或x=-1，由于-1＜0，故n点坐标为（2m²+1，0）．
令x=0，得y=-（2m²+1），即p点坐标为（0，-（2m²+1））．
故pn的斜率=

-(2m2+1)-0

0-(2m 2+1)

=1为定值．
（3）依题得mn为三角形PMN的底，P点纵坐标的长度为三角形PMN的高．且
mn=2m²+1-1=2m²
p点纵坐标的长度=2m²+1
故S_△PMN=

1

2

•2m²•（2m²+1）=2m⁴+m²，故当m=0时，三角形PMN面积有最小值0

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生综合分析问题和运算的能力．