【题目】某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为,设圆柱的高度为,底面半径为,且,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关.已知易拉罐侧面制造费用为元,易拉罐上下底面的制造费用均为元为常数).
(1)写出易拉罐的制造费用(元)关于的函数表达式,并求其定义域;
(2)求易拉罐制造费用最低时的值.
【答案】(1),;(2)当时, ,易拉罐的制造费用最低,当时,,易拉罐的制造费用最低.
【解析】
(1)根据体积的值,得出与的关系,然后将表面积公式中的转化为,再根据等条件得出定义域;
(2)利用导数求出函数的单调性,进而求出最值.
解:(1)因为体积为
故,即,
易拉罐的侧面积为,
易拉罐的上下两底面的面积为,
所以,
因为,
所以有,解得,
故,
易拉罐的制造费用为;
(2),
令,解得,
若,即,此时
当,函数单调递减,
当,函数单调递增,
故当,此时函数取得最小值,即易拉罐的制造费用最低;
若,即,此时,
当时,函数单调递减,
故当,此时函数取得最小值,即易拉罐的制造费用最低;
综上:当时, ,易拉罐的制造费用最低,
当时,,易拉罐的制造费用最低.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,以原点0为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若曲线方程中的参数是,且与有且只有一个公共点,求的普通方程;
(2)已知点,若曲线方程中的参数是,,且与相交于,两个不同点,求的最大值.
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【题目】在国家“大众创业,万众创新”战略下,某企业决定加大对某种产品的研究投入.为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到一组检测数据如表所示:
试销价格(元) | ||||||
产品销量(件) |
已知变量,具有线性相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲/span>;乙;丙,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
(1)试判断谁的计算结果正确?求回归方程。
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取3个,求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.
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【题目】设关于的一元二次方程,其中是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求上述方程有实根的概率.
(1)若随机数;
(2)若是从区间中任取的一个数,是从区间中任取的一个数.
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【题目】为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标)、推理能力(指标)、建模能力(指标)的相关性,将它们各自量化为1、2、3三个等级,再用综合指标的值评定学生的数学核心素养,若,则数学核心素养为一级;若,则数学核心素养为二级;若,则数学核心素养为三级,为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下数据:
学生编号 | ||||||||||
(1)在这10名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率;
(2)在这10名学生中任取三人,其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为,求随机变量的分布列及其数学期望.
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【题目】已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列.
(1)若,求数列的前项和;
(2)若存在正整数,使得,试比较与的大小,并说明理由.
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【题目】一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为,当时, 符合条件的共有_____个.
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【题目】设椭圆的左焦点为,下顶点为,上顶点为,是等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线,过点且斜率为的直线与椭圆交于点 异于点,线段的垂直平分线与直线交于点,与直线交于点,若.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)已知点,点在椭圆上,若四边形为平行四边形,求椭圆的方程.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数),C2:(m为参数).
(1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)设曲线C1与C2的交点分别为A,B,O为坐标原点,求△OAB的面积的最小值.
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