Question

6．正三棱台A₁B₁C₁-ABC中，A₁B₁：AB=1：2，截面A₁BC与ABC的夹角为30°，求：
（1）截面A₁BC与底面ABC的面积之比；
（2）三棱台被截面A₁BC分成的上下两部分的体积之比．

Answer 1

分析 （1）补形，延长各侧棱必交于一点P，得正三棱锥P-ABC．取BC的中点D，连结A₁D和AD，因截面A₁BC，ABC是等底的两个等腰三角形，其面积比就是其对应高的比；
（2）利用体积公式，求出体积，即可求出三棱台被截面A₁BC分成的上下两部分的体积之比．

解答 解：（1）补形，延长各侧棱必交于一点P，得正三棱锥P-ABC．取BC的中点D，连结A₁D和AD．
由题设知，∠ADA₁=30°，且点P在底面ABC上的射影点O是三角形ABC的重心．而点A₁在底面ABC上的射影则是OA的中点O'．
可设A₁D=2，则A₁O'=1，O'D=$\sqrt{3}$，∴AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴A₁D：AD=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．
因截面A₁BC，ABC是等底的两个等腰三角形，其面积比就是其对应高的比，
故二者的面积比为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．
（2）设正三棱锥P-ABC的底边长为2m，高为2h．则三棱锥P-ABC和P-A₁B₁C₁的体积分别为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4{m}^{2}×2h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{m}^{2}h$，$\frac{\sqrt{3}}{12}{m}^{2}h$，
∴正三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积为$\frac{7\sqrt{3}}{12}{m}^{2}h$．而三棱锥A₁-ABC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}{m}^{2}h$．
∴正三棱台的被截成的上部分体积为$\frac{\sqrt{3}}{4}{m}^{2}h$．
∴三棱台被截面A₁BC分成的上下两部分的体积之比为3：4．

点评 本题考查正三棱台A₁B₁C₁-ABC中面积比、体积比问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．