【题目】已知函数.
(1)求曲线与直线垂直的切线方程;
(2)求的单调递减区间;
(3)若存在,使函数成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)减区间为和;(3).
【解析】
试题分析:(1)求出导数,令,求出切点坐标,可得切线方程;(2)令解出的单调递减区间;(3)由已知得,分离常数,存在使函数成立,使即可,对进行求导,利用导数判断函数的单调性得到其最小值.
试题解析:(1)由已知,·······2分
设切点坐标为,令,解得,所以,因此切线方程为,即;·······4分
(2)函数的定义域为,
,由,解得或,
所以函数的单调递减区间为和.·······8分
(3)因为,
由已知,若存在使函数成立,
则只需满足当时,即可.·······9分
又,
则,·······10分
①若,则在上恒成立,
所以在上单调递增,
,
∴,又∵,∴.·······13分
②若,则在上单调递减,在上单调递增,
所以在上的最小值是,·······15分
又∵,而,所以一定满足条件,
综上所述,的取值范围是.·······16分
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【题目】已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26.{an}的前n项和为Sn .
(1)求an及Sn;
(2)令bn=﹣ (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
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【题目】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
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【题目】已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9.
(1)求证:无论m为何值,直线l与圆C总相交.
(2)求直线l被圆C所截得的弦长的最小值.
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【题目】已知动圆过定点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率不为零的直线交曲线于, 两点,在轴上是否存在定点,使得直线的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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