Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

的图象上满足下面条件的任意两点．若

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，则点M的横坐标为

1

2

．
（1）求证：M点的纵坐标为定植；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，求S_n（n≥2，n∈N*）．
（3）已知an=

2 3 (n=1) 1 (Sn+1)(Sn+1+1) (n≥2)

，（其中n∈N^*，又知T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜（15）λ（S_n+1+1）对于一切n∈N^*．都成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)则M是AB中点，再由其横坐标为

1

2

建立等式

1

2

(x1+x2)=x=

1

2

，得到x₁+x₂=1，再由y=

1

2

(y1+y2)
转化为y=

1

2

[f(x1)+f(x2)]用x的关系来探究．
（2）由（1）知，x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，即：Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)，两式相加求解．
（3）当n=1时，Tn=a1=

2

3

，Sn+1+1=S2+1=

3

2

，由T_n＜λ（S_n+1+1），得

3

2

＜

3

2

λ，得λ＞

4

9

．
当n≥2时，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)用裂项法求得T_n，
由T_n＜λ（S_n+1+1）求解．

解答：解：（1）∵

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)∴M是AB中点，设M为（x，y）
由

1

2

(x1+x2)=x=

1

2

，得x₁+x₂=1，∴x₁=1-x₂或x₂=1-x₁
∴y=

1

2

(y1+y2)
=

1

2

[f(x1)+f(x2)]
=

1

2

(

1

2

+log2

x

1-x1

+

1

2

+log2

x2

1-x2

)
=

1

2

(1+log2

x1

1-x1

+log2

x2

1-x2

)
=

1

2

(1+log2[

x1

1-x1

•

x2

1-x2

]
=

1

2

(1+log2

x1

x2

•

x2

x1

)=

1

2

∴M点的纵坐标的定值为

1

2

（2）由（1）知，x₁+x₂=1，
则f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)，
上述两式相加，得
2Sn=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[f(

2

n

)+f(

n-2

n

)]+…+[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]
=1+1+…+1
∴Sn=

n-1

2

(n≥2，n∈N*)

（3）当n=1时，Tn=a1=

2

3

，Sn+1+1=S2+1=

3

2

，
由T_n＜λ（S_n+1+1），得

2

3

＜

3

2

λ，得λ＞

4

9

．
当n≥2时，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)
∴Tn=a1+a2+…+an=

2

3

+4(

1

3

-

1

n+2

)=

2n

n+2

由T_n＜λ（S_n+1+1），得

2n

n+2

＜λ

n+2

n

，
∴λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

，
∵

4

n+ 4 n +4

≤

4

4+4

=

1

2

，（当且仅当n=2时，=成立）∴λ＞

1

2

．
综上所述，若对一切n∈N^*．都有T_n＜λ（S_n+1+1）成立，由于

4

9

＜

1

2

，所以λ＞

1

2

点评：本题主要考查中点的向量表示及函数值求解，还考查了用裂项法求数列前n项和，构造数列不等式恒成立问题．