Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}．
（1）a=2时，求A∩B；
（2）a＞

1

3

时，若A∩B=B，求实a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知a=2，解A，B所含方程组成的不等式组即可求得A∩B；
（2）已知A∩B=B得B⊆A，a＞

1

3

得3a+1＞2，可求解集合A，讨论2a和a²+1的大小关系，解集合B，根据B⊆A确定a的取值范围．

解答：解：（1）a=2时，解方程组

(x-2)(x-7)＜0 x-4 x-5 ＜0

得，4＜x＜5，
故A∩B={x|4＜x＜5}
（2）已知A∩B=B得B⊆A，
a＞

1

3

时，3a+1＞2，A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}={x|2＜x＜3a+1}
讨论2a和a²+1的大小关系：
①若a²+1=2a得a=1，即1＜0不成立，集合B为空集，A={x|2＜x＜4}，满足B⊆A
②若a²+1＞2a得a≠1，B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}={x|2a＜x＜a²+1}，∵B⊆A
∴

2a＞2 a2+1＜3a+1

解得1＜a＜3
③若a²+1＜2a即（a-1）²＜0，这样的a不存在
综上所述，实数a的取值范围为{a|1≤a＜3}．

点评：本题考查集合的并集运算，（1）实质为解不等式组，较简单；（2）需要进行分类讨论，注意a²+1＞2a时的计算要根据B⊆A得出正确的不等式组，不要混淆大小关系，分类讨论时还应注意不能遗漏，本题属于难题，易错题．