Question

已知函数f(x)=x(x+

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)(x-a)为定义在R上的奇函数，
（1）求a的值并求y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，m]时，求函数的值域．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得f(x)+f(-x)=x(x+

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)(x-a)-x(-x+

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)(-x-a)=0恒成立，分析可得a的值，进而可得f（x）=x³-3x，求导可得单调区间；
（2）由（1）的单调区间与单调性，分两种情况讨论m的值，分析可得答案．

解答：解：（1）因为函数是R上奇函数，
所以f(x)+f(-x)=x(x+

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)(x-a)-x(-x+

3

)(-x-a)=0恒成立，
化简得2x2(a-

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)=0，所以a=

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，
可得f（x）=x³-3x，f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=3（x+1）（x-1）＞0，单增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
令f′（x）=3（x+1）（x-1）＜0，单减区间为（-1，1）（6分）
（2）当m∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）在[0，m]单减，
值域为[f（m），f（0）]=[m³-3m，0]
当m∈(1，

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]时，f′（1）=0，f（x）在x=1处取得极小值，
值域为[f（1），f（0）]=[-2，0]
当m∈(

3

，+∞)时，f（x）在x=1处取得最小值，
在x=m处取得最大值，值域为[f（1），f（m）]=[-2，m³-3m]（6分）

点评：本题考查函数的奇函数性质的运用，解题时，注意其图象对称性的应用．