Question

已知曲线y=ln(x+2)+

x2

2

+2x+

1

2

在点A处的切线与曲线y=sin(2x+φ)，(-

π

2

＜φ＜

π

2

)在点B处的切线相同，求φ的值．

Answer 1

分析：分别求出两函数的导函数，根据导函数的取值范围可求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据曲线y=sin(2x+φ)，(-

π

2

＜φ＜

π

2

)在点B处的切线相同，可求出φ的值．

解答：解：k_切=y′=

1

x+2

+x+2≥2，当且仅当x+2=

1

x+2

，即x+2=1，x=-1时，取等号…（2分）
又k_切=y′=2cos（2x+?）≤2，
由题意，k_切=2，此时切点A（-1，-1），切线l：y=2x+1…（5分）
由2cos（2x+?）=2得cos（2x+?）=1，
∴sin（2x+?）=0，从而B（-

1

2

，0）…（7分）
∴sin（-1+?）=0，-1+?=kπ，k∈Z，
∴?=kπ+1，k∈Z…（9分）
又-

π

2

＜?＜

π

2

，
∴?=1

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．