Question

12、函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x₀，f（x₀））处的切线为：l：y=g（x）=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），F（x）=f（x）-g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x₀＜b，那么（　　）

A、F′（x₀）=0，x=x₀是F（x）的极大值点

B、F′（x₀）=0，x=x₀是F（x）的极小值点

C、F′（x₀）≠0，x=x₀不是F（x）极值点

D、F′（x₀）≠0，x=x₀是F（x）极值点

Answer 1

分析：先对函数F（x）进行求导，可确定F'（x₀）=0即x₀有可能是函数的极值点，然后再判断函数f（x）的增长快慢从而确定F（x）的单调性，得到结论．

解答：解：∵F（x）=f（x）-g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀），
∴F'（x）=f'（x）-f′（x₀）∴F'（x₀）=0
由图知在[0，b]上函数f（x）增长的越来越快，∴f'（x）＞0且是增函数
∴当0＜x＜x₀时∴F'（x）=f'（x）-f′（x₀）＜0，函数F（x）单调递减
当x₀＜x＜b时，F'（x）=f'（x）-f′（x₀）＞0，函数F（x）单调递增
∴x=x₀是F（x）的极小值点
故选B．

点评：本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．