Question

设函数fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+(-1)n

xn

n

，其中n为正整数，则集合M={xf₁（f₄（x））=0，x∈R}中元素个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．4个

Answer 1

分析：先分别表示f₁（x），f₄（x），进而可知 x=0是方程的根，利用导数法研究1-

x

2

+

x2

3

-

x3

4

=0的根，从而得解．

解答：解：由题意，f1(x)=1-x，f4(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

∴f₁（f₄（x））=x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

=x(1-

x

2

+

x2

3

-

x3

4

)=0
∴x=0是方程的根
又令y=1-

x

2

+

x2

3

-

x3

4

，∴y/=-

1

2

+

2x

3

-

3x2

4

＜0
∴该函数为单调函数，从而对应的方程有唯一的根
∴集合M={xf₁（f₄（x））=0，x∈R}中元素个数是2个
故选C．

点评：本题以函数为载体，考查集合知识，考查方程的根，关键是表示出方程，进而可以解决．