Question

不等式x²-2x-3＜0成立的一个必要不充分条件是

1. A.
   -1＜x＜3
2. B.
   0＜x＜3
3. C.
   -2＜x＜3
4. D.
   -2＜x＜1

Answer 1

C
分析：根据一元二次不等式的解法，可得x²-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}，进而依次分析选项，判断选项所给的不等式与-1＜x＜3的关系，可得A中“-1＜x＜3”是“x²-2x-3＜0”成立的充要条件，B中“-1＜x＜3”是“x²-2x-3＜0”成立的充分不必要条件，C中“-1＜x＜3”是“x²-2x-3＜0”成立的必要不充分条件，D中“-1＜x＜3”是“x²-2x-3＜0”成立的既不充分，又不必要条件，进而可得答案．
解答：对于不等式x²-2x-3＜0，解可得-1＜x＜3，即x²-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}，
根据题意，分析选项可得，
A中，当-1＜x＜3时，必有x²-2x-3＜0成立，反之若有x²-2x-3＜0成立，则-1＜x＜3也成立，即“-1＜x＜3”是“x²-2x-3＜0”成立的充要条件，不合题意；
B中，当0＜x＜3时，必有x²-2x-3＜0成立，反之若有x²-2x-3＜0成立，则0＜x＜3不一定成立，如x=-0.5时，即“-1＜x＜3”是“x²-2x-3＜0”成立的充分不必要条件，不合题意；
C中，当-2＜x＜3时，x²-2x-3＜0不一定成立，如x=-1.5时，反之若有x²-2x-3＜0成立，则必有-2＜x＜3成立，即“-1＜x＜3”是“x²-2x-3＜0”成立的必要不充分条件，符合题意；
D中，当-2＜x＜1时，x²-2x-3＜0不一定成立，如x=-1.5时，反之若有x²-2x-3＜0成立，则-2＜x＜3不一定成立，如x=2时，即“-1＜x＜3”是“x²-2x-3＜0”成立的既不充分，又不必要条件，不合题意；
故选C．
点评：本题考查充分、必要条件的判断，涉及一元二次不等式的解法；解题的关键要掌握充分、必要条件定义．