Question

（2012•黔东南州一模）在一个球的球面上有P、A、B、C、D五个点，且P-ABCD是正四棱锥，同时球心和P点在平面ABCD的异侧，则

PA

AB

的取值范围是

（

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：根据题意，外接球的球心O在高PO₁的延长线上，由此可得PO₁＜AO₁，结合Rt△POA₁中用勾股定理和正四棱锥的性质，建立关于PA、AB的不等式，解之可得

PA

AB

的取值范围．

解答：解：设底面ABCD的中心为O₁，则外接球的球心O在直线PO₁上
∵球心O和P点在平面ABCD的异侧，
∴球心O在高PO₁的延长线上，得PO₁＜AO₁
∵Rt△POA₁中，AO1=

2

2

AB，PO1=

PA2-AO1 2

，
∴

PA2- 1 2 AB2

＜

2

2

AB，解之得PA＜AB，

PA

AB

＜1
又∵AO1=

2

2

AB＜PA，∴

PA

AB

＞

2

2

，
由此可得

PA

AB

的取值范围：（

2

2

，1）
故答案为：（

2

2

，1）

点评：本题给出正四棱锥外接球的球心和顶点在底面的两侧，求侧棱与底面边长比值的取值范围．着重考查了正棱锥的性质和多面体的外接球等知识，属于基础题．