Question

已知曲线S：y=3x-x³及点P（2，2）．
（1）求过点P的切线方程；
（2）求证：与曲线S切于点（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线与S至少有两个交点．

Answer 1

分析：（1）欲求在点（2，2）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先设与曲线S切于点（x₀，y₀）的切线方程为：y-y₀=（3-3x₀²）（x-x₀），与曲线S的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别即可求得方程根的个数，从而解决问题．

解答：解：（1）解设切点为（x₀，y₀），则y₀=3x₀-x₀³．
又f′（x）=3-3x²，
∴切线斜率k=

y0-2

x0-2

=3-3x₀²，
即3x₀-x₀³-2=（x₀-2）（3-3x₀²），
∴（x₀-1）[（x₀-1）²-3]=0，
解得x₀=1或x₀=1±

3

，
相应的斜率k=0或k=-9±6

3

，
∴切线方程为y=2或y=（-9±6

3

）（x-2）+2．
（2）证明：与曲线S切于点（x₀，y₀）的切线方程可设为
y-y₀=（3-3x₀²）（x-x₀），
与曲线S的方程联立，消去y，
得3x-x³-y₀=3（1-x）•（x-x₀），
即（x-x₀）²（x+2x₀）=0，则x=x₀或x=-2x₀，
因此，与曲线S切于点（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线，与S至少有两个交点．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．