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已知曲线S:y=3x-x3及点P(2,2).
(1)求过点P的切线方程;
(2)求证:与曲线S切于点(x0,y0)(x0≠0)的切线与S至少有两个交点.
分析:(1)欲求在点(2,2)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=2处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(2)先设与曲线S切于点(x0,y0)的切线方程为:y-y0=(3-3x02)(x-x0),与曲线S的方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,再利用根的判别即可求得方程根的个数,从而解决问题.
解答:解:(1)解设切点为(x0,y0),则y0=3x0-x03
又f′(x)=3-3x2
∴切线斜率k=
y0-2
x0-2
=3-3x02
即3x0-x03-2=(x0-2)(3-3x02),
∴(x0-1)[(x0-1)2-3]=0,
解得x0=1或x0=1±
3

相应的斜率k=0或k=-9±6
3

∴切线方程为y=2或y=(-9±6
3
)(x-2)+2.
(2)证明:与曲线S切于点(x0,y0)的切线方程可设为
y-y0=(3-3x02)(x-x0),
与曲线S的方程联立,消去y,
得3x-x3-y0=3(1-x)•(x-x0),
即(x-x02(x+2x0)=0,则x=x0或x=-2x0
因此,与曲线S切于点(x0,y0)(x0≠0)的切线,与S至少有两个交点.
点评:本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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