Question

17．已知f（x）=ln（x+a）-$\frac{1}{2}$ax²，a∈R，求f（x）单调区间．

Answer 1

分析 先求函数的定义域，求函数的导数，在定义域内讨论函数的单调性．

解答 解：f（x）=ln（x+a）-$\frac{1}{2}$ax²的定义域为（-a，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-ax=-$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-1}{x+a}$，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）在（-a，+∞）单调递增，
当a＞0时，∵△=a⁴+4a＞0，
令f′（x）=0，解得x₁=-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，x₂=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，
若x₂=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$≥-a，解得a≤0，不成立，
x₂=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$＜-a，解得a＞0，成立，
∵x₁=-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$＞-a，
∴-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$＜-a＜-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，
当f′（x）＞0时，即x＞-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即-a＜x＜-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，函数f（x）单调递减，
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（-a，+∞）单调递增，
当a＞0时，函数f（x）在（-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$，+∞）单调递增，在（-a，-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$）单调递减．

点评 本题考查了导数和函数单调性的关系，以及分类讨论的思想，培养了学生的运算能力，转化能力，属于中档题．