【题目】已知非常数的整系数多项式满足
.①证明:对所有正整数
,
至少有五个不同的质因数.
【答案】见解析
【解析】
式①等价于
. ②
在式②中分别令,
,
,
.
则.
再在式②中令.则
.
故、
、0、1及
是
的根.则
, ③
其中,为实系数多项式.
由式③得. ④
将式③、④代入式②得.
设.则
.
考虑两边次项系数知
.
所以,为常数
.
故,其中,常数
.
首先证明:至少有四个不同的质因数.
否则,至多有三个不同的质因数2、3、
.但
、
、
、
两两之间的最大公因数为1、2、3,其中两个奇数互质,则为
、
.从而,两个偶数为
、
.故
.解得
.
因此,这两个偶数为8、6或16、18.前者不符,后者得到另两个奇数为15、17或17、19,均导致矛盾.
其次,假设存在某个正整数,使得
的每个质因数都是
的质因数,且
恰有四个质因数,否则,结论成立.
显然,.
由,知
或3,
或7.故
.
但9|不能,故
,则
.
由假设知、
、
、
的质因数为2、3、7、
.则
.
考虑其中两个偶数、两个奇数的质因数集合、
.显然,
,
,
.
故或
且
.
若或
,则两个偶数为
、
或
、
,得
或
.
故这两个偶数为16、18或16、14.前者得7 |(n+2)不能;后者使有质因数2、3、5、7及13(或17),矛盾.
若,则
为奇数,
为偶数.
由.
故,
,且
.
从而,.
于是,.则
,矛盾.
若,则
,且
为偶数,
.
故.
从而,,
,
.
于是,,矛盾.
若,则
,且
为奇数,
.故
.
但,则
的奇质因数不是3、7,矛盾.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了”;乙说:“丙申请了”;丙说:“甲和丁都没有申请”;丁说:“乙申请了”,如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当C点为半圆的中点时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为缓解高三学生的高考压力,经常举行一些心理素质综合能力训练活动,经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试,并将其成绩分为、
、
、
、
五个等级,统计数据如图所示(视频率为概率),根据图中抽样调查的数据,回答下列问题:
(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数;
(2)若等级、
、
、
、
分别对应100分、90分、80分、70分、60分,学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时,高三学生的考前心理稳定,整体过关,请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关?
(3)以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标,学校决定对成绩等级为的16名学生(其中男生4人,女生12人)进行特殊的一对一帮扶培训,从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名,求恰好抽到1名男生的概率..
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的直角坐标方程;
(2)直线(
为参数)与曲线
交于
两点,与
轴交于
,求
.
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