Question

（本题满分14分）如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2．

（1）证明：面BDD₁ B₁⊥面ACD₁；
（2）若E是BC₁的中点，P是AC的中点，F是A₁C₁上的点， C₁F=mFA₁，试求m的值，使得EF∥D₁P．

Answer 1

（1）略（2）略

证明（1）：在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB= AD=2，故四边形ABCD是正方形，AP⊥DP，又∵D₁D⊥面ABCD，AP面ABCD∴D₁D⊥AP ，D₁D∩DP=D∴AP⊥面BDD₁B₁  ∵AP面AD₁C
∴面BDB₁D₁⊥面ACD₁  ----7分
解（2）：记A₁C₁与B₁D₁的交点为Q，连BQ，
∵P是AC的中点，∴D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，则必有EF∥BQ
在△QBC₁中，E是BC₁的中点， F是QC₁上的点，EF∥BQ
∴F是QC₁的中点，即3C₁F=FA₁，故所求m的值是． ----14分
点评：本题考查空间想象能力、逻辑推理能力，线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直，属于中档题，