Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC₁两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）．

∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），∴•=0，即⊥，
∴AC⊥BC₁．
（2）解：假设在AB上存在点D使得AC₁∥平面CDB₁，则=λ=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3-3λ，4λ，0），=（3-3λ，4λ-4，-4），
又=（0，-4，-4），=（-3，0，4），AC₁∥平面CDB₁，所以存在实数m，n，使=m+n成立，
∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，
所以λ=，所以在AB上存在点D使得AC₁∥平面CDB₁，且D为AB的中点．
分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积为0，证明向量垂直；
（2）假设在AB上存在点D使得AC₁∥平面CDB₁，则利用AC₁∥平面CDB₁，存在实数m，n，使=m+n成立，即可求得结论．
点评：本题考查利用向量知识解决立体几何问题，考查线线垂直，考查探索型问题，解题的关键是建立坐标系，用坐标表示向量．