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已知抛物线C:y2=2px(P>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为
3
的直线与l相交于点P,与C的一个交点为Q,
PM
=
MQ

(1)求抛物线的方程;
(2)过点K(-1,0)的直线m与C相交于A、B两点,
①若BM=2AM,求直线AB的方程;
②若点A关于x轴的对称点为D,求证:点M在直线BD上.
分析:(1)设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+(-6-2p)x+3=0,进而根据
PM
=
MQ
,可知 x=
1
2
p+2
代入方程即可求得p,从而得到抛物线的方程.
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),|
BM
|=
(x2-1)  2+y22
=x2+1,|
AM
| =
(x1-1)2+y1 2
=x1+1
,由|
BM
| =2|
AM
|
,知x2=2x1+1,由此能求出直线AB.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1),设直线l:y=k(x+1),(k≠0),代入y2=4x,化简整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由△>0,得0<k2<1,x1+x2=-
2k2-4
k2
x1x2=1
,再由kBF-kDF=
y2
x2-1
+
y1
x1-1
=0,知点M在BD上.
解答:解:(1)设直线PQ:y=3x-3,代入y2=2px得3x2+(-6-2p)x+3=0,
又∵
PM
=
MQ

∴x=12p+2,解得p2+4P-12=0,
解得p=2,p=-6(舍去)
故抛物线的方程为:y2=4x.
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),
|
BM
|=
(x2-1)  2+y22
=x2+1,
|
AM
| =
(x1-1)2+y1 2
=x1+1

|
BM
| =2|
AM
|

∴x2=2x1+1,
由此能导出直线AB的斜率k=±
2
2
3

∴直线AB为:y=±
2
2
3
(x+1)

②设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1),
设直线l:y=k(x+1),(k≠0),
代入y2=4x,化简整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
由△>0,得0<k2<1,x1+x2=-
2k2-4
k2
x1x2=1

kBF=
y2
x2-1
kDF=-
y1
x1-1

kBF-kDF=
y2
x2-1
+
y1
x1-1

=
k(x2+1)(x1-1)+k(x1+1)(x2-1)
(x2-1)(x1-1)

=
2k(x1x2-1)
x1x2-(x1+x2)+1
=0,
∴点M在BD上.
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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精英家教网如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点. A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M(O为坐标原点).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;
(Ⅲ)以M为圆心,4为半径作圆M,点P(m,0)是x轴上的一个动点,试讨论直线AP与圆M的位置关系.

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已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为抛物线C的焦点,A为抛物线C上的动点,过A作抛物线准线l的垂线,垂足为Q.
(1)若点P(0,4)与点F的连线恰好过点A,且∠PQF=90°,求抛物线方程;
(2)设点M(m,0)在x轴上,若要使∠MAF总为锐角,求m的取值范围.

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已知抛物线C:y2=2Px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求证:a2=
16(1-kb)k2

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已知抛物线C:y2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.
(I)若m=1,且直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(II)问是否存在定点M,不论直线l绕点M如何转动,使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒为定值.

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已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若
MA
MB
=0,则k=(  )

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