Question

设二次函数f(x)＝(k－4)x²＋kx(k∈R)，对任意实数x，有f(x)≤6x＋2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1＝f(a_n)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)试写出一个区间(a，b)，使得当a_n∈(a，b)时，a_n+1∈(a，b)且数列{a_n}是递增数列，并说明理由；

(3)已知a₁＝，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N^*，都有－1＋(－1)^n－12λ＋nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由恒成立等价于恒成立　1分 　　从而得：，化简得，从而得， 　　所以，　3分 　　(2)解：若数列是递增数列，则即： 　　　5分 　　又当时，， 　　所以有且，所以数列是递增数列．　7分 　　注：本题的区间也可以是、、、………，等无穷多个． 　　(3)由(2)知，从而； 　　， 　　即；　8分 　　令，则有且； 　　从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列， 　　从而得，即， 　　所以，　10分 　　所以，所以， 　　所以， 　　．　11分 　　即，所以，恒成立 　　①当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为． 　　②当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为． 　　所以，对任意，有．又非零整数，　12分