【题目】现有一块大型的广告宣传版面,其形状是右图所示的直角梯形.某厂家因产品宣传的需要,拟投资规划出一块区域(图中阴影部分)为产品做广告,形状为直角梯形(点在曲线段上,点在线段上).已知, ,其中曲线段是以为顶点, 为对称轴的抛物线的一部分.
(1)建立适当的平面直角坐标系,分别求出曲线段与线段的方程;
(2)求该厂家广告区域的最大面积.
【答案】(1)直角坐标系见解析; 曲线段的方程为: ;
线段的方程为: .
(2) .
【解析】试题分析:(1)以AB为x轴,DA为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),C(6,-12),D(0,-6).设曲线AC的方程x2=-2py,(p>0,0≤x≤6).代入C坐标即可求得p,即可求出曲线段的方程,由DC两点坐标即可求出线段的方程;
(2)设出F点横坐标a,将厂家广告区域的面积表示为a的函数,求出函数的最大值即可.
试题解析:(1)以直线为轴,直线为轴建立平面直角坐标系(如图所示).
则, , , ,
曲线段的方程为: ;
线段的方程为: ;
(2)设点,则需,即,
则, , .
∴, , ,
则厂家广告区域的面积
,
∴,
令,得, .
∴在上是增函数,在上是减函数.
∴.
∴厂家广告区域的面积最大值是.
点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题,关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式,利用导数研究单调性即可求出最值.
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【题目】大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度,结果如下:
阅读过莫言的 | 0~25 | 26~50 | 51~75 | 76~100 | 101~130 |
男生 | 3 | 6 | 11 | 18 | 12 |
女生 | 4 | 8 | 13 | 15 | 10 |
(Ⅰ)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率;
(Ⅱ)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”,否则为“一般了解”.根据题意完成下表,并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关?
非常了解 | 一般了解 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】(1)六个从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有几种?
(2)把5件不同产品摆成一排,若产品与产品相邻,且产品与产品不相邻,则不同的摆法有几种?
(3)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法有几种?
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【题目】已知函数f(x)=-sin2x+mcosx-1,x∈[].
(1)若f(x)的最小值为-4,求m的值;
(2)当m=2时,若对任意x1,x2∈[-]都有|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,,为其左、右顶点,为椭圆上除,外任意一点,若记直线,斜率分别为,.
(1)求证:为定值;
(2)若椭圆的长轴长为4,过点作两条互相垂直的直线,,若恰好为与椭圆相交的弦的中点,求与椭圆相交的弦的中点的横坐标.
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【题目】已知定义域在R上的函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.
(1)求a的值;
(2)若p,q,r为正实数,且p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.
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