Question

设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若

BP

=2

PA

，且

OQ

•

AB

=1，求P点的轨迹方程．

Answer 1

分析：通过已知条件设出A，B坐标，求出

AB

=(-

3

2

x，3y)，点P关于y轴对称知，Q（-x，y），

OQ

=（-x，y），利用

OQ

•

AB

=1，求出P点的轨迹方程．

解答：解：由

BP

=2

PA

及A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(

3

2

x，0)，B（0，3y），

AB

=(-

3

2

x，3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q（-x，y），

OQ

=（-x，y），则

OQ

•

AB

=(-

3

2

x，3y)•(-x，y)=

3

2

x2+3y2=1(x＞0，y＞0)．
所以P点的轨迹方程为：

3

2

x2+3y2=1(x＞0，y＞0)．

点评：本题是中档题，考查曲线的轨迹方程的求法，注意到向量的坐标的求法与向量数量积公式的应用，是本题的解题的关键，考查计算能力，转化思想，易错点是x，y的范围．