Question

求下列函数的值域
（1）y=log_a（-2sin²x+5sinx-2）；
（2）y=sin(x-

π

6

)cosx．

Answer 1

分析：（1）中所给函数是由对数函数和一元二次构成的复合函数，其单调性遵循同增异减，欲求该对数函数的值域，需要采用换元法求出真数的p的范围．
（2）中所给函数是两个不同角的三角函数式乘积，可以用差角的正弦公式展开原式，再利用三角函数的诱导公式合并成同一名下的三角函数，最后结合三角函数自身的有界性解决本题．

解答：解：（1）令sinx=t，则-1≤t≤1，则真数 p=-2sin²x+5sinx-2=-2(t-

5

4

)2+

9

8

，p＞0
∵-1≤t≤1，∴-

9

4

≤t-

5

4

≤-

1

4

∴-9≤-2(t-

5

4

)2+

9

8

≤1，-9≤p≤1
∴0＜p≤1
即y=log_ap，（，-9≤p≤1）
故当a＞1时，函数值域为（-∞，0]
当0＜a＜1时，函数的值域为[0，+∞）．
（2）y=sin(x-

π

6

)cosx=（sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

）•cosx
=

1

2

sin(2x-

π

6

)-

1

4

∵-1≤sin(2x-

π

6

) ≤1
∴函数值域为[-

3

4

，

1

4

]．

点评：换元法或三角函数法求值域，最大的问题是范围，要充分注意换元后的范围以及三角函数的有界性．
另外，正（余）弦型函数y=Asin（wx+θ）+b，（y=Acos（wx+θ）+b）的特点如下：
一名（整个函数表达式只有一个三角函数名，能充分发挥三角函数性质的应用）
一角（整个函数表达式只有一个角，有利于结合三角函数的有界性）
一次（最高次幂是一次的，有利于结合繁杂的诱导公和三角函数性质）