Question

（2013•成都一模）某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万 元，年生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对 该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收人近似满足函数R（m）=5000m-500m²（0≤m≤5，m∈N）
（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量单位x百台，x≤5，x∈N^*）的函数关系式；
（II）若工厂第一年预计生产机器300台，销售后将分到甲、乙、丙三个地区各100台，因技术、运输等原因，估计每个地区的机器中出现故障的概率为

1

5

．出现故障后，需要厂家上门调试，每个地区调试完毕，厂家需要额外开支100万元．记厂家上门调试需要额外开支的费 用为随机变量ξ，试求第一年厂家估计的利润．
（说明：销售利润=实际销售收入一成本；估计利润=销售利润一ξ的数学期望）

Answer 1

分析：（I）由已知，可分别计算出年产量单位x百台时，的销售收入及成本，进而根据销售利润=销售收入-成本得到销售利润y（万元）关于年产量单位x百台，x≤5，x∈N^*的函数关系式；
（II）由已知可计算随机变量ξ的数学期望，进而根据估计利润=销售利润一ξ的数学期望，得到第一年厂家估计的利润

解答：解：（I）∵每生产m百台的实际销售收人近似满足函数R（m）=5000m-500m²万元，
故产量单位x百台时，实际销售收人约为5000x-500x²万元，
又∵生产需要投入固定成本500万 元，每生产100台，还需增加可变成本1000万元．
故成本=500+1000x万元．
故y=5000x-500x²-（500+1000x）=-500x²+4000x-500，（x≤5，x∈N^*）
（2）∵工厂第一年预计生产机器300台，销售后将分到甲、乙、丙三个地区各100台，因技术、运输等原因，估计每个地区的机器中出现故障的概率为

1

5

．
故ξ～B（3，

1

5

）
∴Eξ=np=

3

5

即厂家上门调试需要额外开支的费用的平均值为100Eξ=60万元
故第一年厂家估计的利润为y=-500×3²+4000×3-500-60=6940万元

点评：本题考查的知识点是函数在实际中的应用，数学期望，其中（1）的关键是分析出销售利润=销售收入-成本，（2）的关键是分析出估计利润=销售利润一ξ的数学期望．