Question

已知椭圆Γ的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．
（1）若点M满足

AM

=

1

2

(

AQ

+

AB

)，求点M的坐标；
（2）设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E．若k1•k2=-

b2

a2

，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P₁、P₂满足

PP1

+

PP2

=

PQ

PP1

+

PP2

=

PQ

？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点P₁、P₂满足

PP1

+

PP2

=

PQ

，求点P₁、P₂的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意知M是B（0，-b）和Q（a，0）的中点，所以M(

a

2

，-

b

2

)．
（2）由题设条件得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，所以a²k₁²+b²-p²＞0是CD的中点；
（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k₂，由

PP1

+

PP2

=

PQ

知F为P₁P₂的中点，由此可得P₁（-6，-4）、P₂（8，3）．

解答：解：（1）∵

AM

=

1

2

(

AQ

+

AB

)，
∴M是B（0，-b）和Q（a，0）的中点，
∴M(

a

2

，-

b

2

)．
（2）由方程组

y=k1 x+p x2 a2 + y2 b2 =1

，
消y得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因为直线l₁：y=k₁x+p交椭圆Γ于C、D两点，
所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x₀，y₀），设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x₀，y₀），则

x0= a2k1p a2k12+b2 y0= b2p a2k12+b2

，
由方程组

y=k1 x+p y=k2 x

，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因为k2=-

b2

a2k1

，
所以

x= p x2-x1 =x0 y=k2x=y0

，
故E为CD的中点；
（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，
所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k₂，
由

PP1

+

PP2

=

PQ

知F为P₁P₂的中点，
根据（2）可得直线l的斜率k1=-

b2

a2k2

，
从而得直线l的方程．F(1，-

1

2

)，
直线OF的斜率k2=-

1

2

，
直线l的斜率k1=-

b2

a2k2

=

1

2

，
解方程组

y= 1 2 x-1 x2 100 + y2 25 =1

，消y：x²-2x-48=0，
解得P₁（-6，-4）、P₂（8，3），或P₁（8，3）、P₂（-6，-4），．

点评：本题考查直线的圆锥曲线的综合问题，解题时要注意公式的灵活运用．